Sequências espectrais no estudo de fluxos de Morse, Conley e Novikov.

Nome do Pesquisador: MARIANA RODRIGUES DA SILVEIRA

Agência de fomento: Sem financiamento

Vigência: 01/2017 à 12/2019

Pesquisadores Docentes da UFABC:
1-Mariana Rodrigues da Silveira

Pesquisadores Alunos da UFABC:
1-Vinicius Souza Fernandes (Aluno de Mestrado)
2-Marcos Agnoletto (Aluno de Graduação)

Pesquisadores Externos:
1-Dahisy Valadão de Souza Lima (UNICAMP)
2-Ewerton Rocha Vieira (UFG)
3-Guido Gerson Espiritu Ledesma (UERJ)

Outros Colaboradores:
1-Ketty Abaroa de Rezende (UNICAMP)

Resumo: O papel de técnicas algébricas e topológicas em sistemas dinâmicos tem sido muito significativo, como se pode notar na teoria de Lusternik-Schnirelmann, na teoria de Morse, e mais recentemente nas teorias de Conley [3] e Novikov [11]. Nos contextos de fluxos de Morse, Conley, Novikov e de um campo hamiltoniano em uma variedade simplética, este projeto propõe extrair informação dinâmica de uma ferramenta da topologia algébrica: a sequência espectral. Esta abordagem de explorar a informação dinâmica dada pela sequência espectral de Conley surgiu em [6] e foi posteriormente desenvolvida em [2], [9] e [10]. Existem outros trabalhos nos quais são exploradas sequências espectrais em teoria de Morse, veja [4] e [5], bem como em teoria de Floer, veja [1], porém as abordagens são diferentes da encontrada em [6]. O problema de prover uma descrição qualitativa de um fluxo em uma variedade pode ser dividido em duas partes: A primeira parte é a descrição das componentes do conjunto recorrente, que é dada pelo índice de Morse e mais geralmente pelo índice de Conley. Estes invariantes fornecem uma descrição topológica da dinâmica local. A segunda parte é o estudo da forma como estas componentes estão conectadas entre si. Para descrever tais conexões, utilizamos uma função para construir uma filtração e as conexões estão refletidas na homologia relativa dos conjuntos determinados por tal filtração. Importantes ferramentas com esse propósito são as matrizes de conexão. Baseando-se na teoria de Matrizes de Conexão e Transição desenvolvidas por Franzosa em [7] e [8], este projeto propõe a obtenção, em diversos contextos, de resultados dinâmicos como o cancelamento de pontos críticos, existência de bifurcações e existência de caminhos no fluxo.

Referências: [1] J. F. Barraud, O. Cornea, Lagrangian intersections and the Serre spectral sequence, Annals of Mathematics, 166 (2007), 657-722. [2] M. A. Bertolim, D.V.S. Lima, M. P. Mello, K. A. de Rezende, M. R. Silveira, A Global two-dimensional Version of Smale's Cancellation Theorem via Spectral Sequences, Ergodic Theory and Dynamical Systems vol. 36(6) (2016), 1795-1838. [3] C. Conley, Isolated invariant sets and the Morse index, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 38. American Mathematical Society, Providence, R.I., 1978. [4] O. Cornea, Homotopical dynamics II: Hopf invariants, smoothing and the Morse complex, Ann. Scient. Ec. Norm. Sup. 4e serie, t.35 (2002) 549-573. [5] O. Cornea Homotopical Dynamics IV: Hopf invariants and Hamiltonian flows , Communications on Pure and Applied Math. 55 (2002) 1033-1088. [6] O. Cornea, K.A. de Rezende and M. R. da Silveira, Spectral sequences in Conley’s theory. Ergodic Theory and Dynamical Systems 30(4) (2010) 1009–1054. [7] R. Franzosa, The continuation theory for Morse decompositions and connection matrices, Trans. of the Amer. Math. Soc. 310, no. 2, (1988) 781–803. [8] R. Franzosa, The connection matrix theory for Morse decompositions , Trans. of the Amer. Math. Soc. 311 (1989) 561-592. [9] R. D. Franzosa, K. A. de Rezende and M. R. da Silveira, Continuation and bifurcation associated to the dynamical spectral sequence, Ergodic Theory Dynamical Systems, 34(6) (2014) 1849–1887. [10] M. P. Mello, K. A. de Rezende and M. R. da Silveira, Conley’s spectral sequences via the sweeping algorithm, Topology and its Applications157(13) (2010) 2111–2130. [11] A. V. Pajitnov, Circle-valued Morse theory . 32 Walter de Gruyter Studies in Mathematics, (2006).

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